Podzielność (*)

6.27[1,0,0,1]

1) Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n, reszta z dzielenia liczby n ² przez k jest równa 0 lub 1. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla

1a) k = 3?

1b) k = 5?

1c) k = 6?

1d) k = 4?

7.1[0,1,0,1]

2) Dowolna liczba całkowita dodatnia jest podzielna przez mn wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona jednocześnie podzielna przez m i przez n. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla

2a) m = 12, n = 15?

2b) m = 13, n = 18?

2c) m = 14, n = 21?

2d) m = 15, n = 22?

7.25[0,1,1,0]

3) Liczba naturalna n > 1 przy dzieleniu przez q daje resztę r. Dla każdej liczby naturalnej d spełniającej warunki:
-    1 < d < n,
-    reszta z dzielenia liczby d przez q jest równa r,
sprawdzono, że liczba n nie jest podzielna przez d.
Czy stąd wynika, że liczba n jest liczbą pierwszą, jeżeli

3a) q = 4, r = 1?

3b) q = 4, r = 3?

3c) q = 6, r = 5?

3d) q = 8, r = 7?

7.27[1,1,0,0]

4) Niech S(k) oznacza sumę cyfr liczby k. Określamy ciąg (a_n) wzorami:
a₁ = 1 oraz  a_n+1  =  a_n + S(a_n)   dla n$\ge$1. Czy stąd wynika, że podana liczba jest podzielna przez 3?

4a) a₂₀₀₅ - 2005

4b) a₂₀₀₆- 2006

4c) a₂₀₀₇ - 2007

4d) a₂₀₀₈ - 2008

7.30[0,1,1,0]

5) Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n, liczba n³ przy dzieleniu przez k daje jedną z trzech reszt: 0, 1 lub k-1. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla

5a) k = 5?

5b) k = 7?

5c) k = 9?

5d) k = 11?

8.18[0,0,0,1]

6) Dowolna liczba całkowita dodatnia jest podzielna przez mn wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona jednocześnie podzielna przez 2m i przez 2n. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla

6a) m = 3, n = 5?

6b) m = 6, n = 9?

6c) m = 8, n = 12?

6d) m = 10, n = 14?

8.30[0,0,0,1]

7) Niech F₁ = F₂ = 1 oraz F_n+2 = F_n+1 + F_n dla n$\ge$1. Czy stąd wynika, że podana liczba jest podzielna przez 3?

7a) F₂₀₀₅

7b) F₂₀₀₆

7c) F₂₀₀₇

7d) F₂₀₀₈

4.3[1,0,0,1]

8) Liczba naturalna k jest podzielna przez n wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr dziesiętnych liczby k jest podzielna przez n. Czy powyższe zdanie jest cechą podzielności przez n, jeżeli

8a) n = 3?

8b) n = 5?

8c) n = 7?

8d) n = 9?

4.14[1,0,0,1]

9) Liczby całkowite dodatnie a < b < c < d tworzą czterowyrazowy ciąg geometryczny. Czy stąd wynika, że>

9a) liczba ac jest kwadratem liczby całkowitej?

9b) liczba ad jest kwadratem liczby całkowitej?

9c) liczba ad jest sześcianem liczby całkowitej?

9d) liczba bcd jest sześcianem liczby całkowitej? >

4.29[1,1,0,0]

10) Liczby  p  i  p + 2 są liczbami pierwszymi. Czy stąd wynika, że

10a) liczba p + 22 jest złożona?

10b) liczba p² +1 jest złożona?

10c) liczba p +10 jest złożona?

10d) liczba p + 32 jest złożona?

5.15[0,0,1,0]

11) Dane są liczby całkowite a, b $\in$ {0, 1, 2,...,100}. Wiadomo, że reszty z dzielenia liczb a i b przez m są równe, oraz że reszty z dzielenia liczb a i b przez n są równe. Czy stąd wynika, że a = b, jeżeli

11a) m = 7,   n = 11?

11b) m = 10,   n = 14?

11c) m = 13,   n = 17?

11d) m = 16,   n = 20?

5.22[1,1,0,1]

12) Niech a$\oplus$b oznacza resztę z dzielenia liczby a+b przez 2 ⁸ = 256, natomiast niech c$\%$d oznacza resztę z dzielenia liczby c przez d. Czy wtedy

12a) $(100\oplus137)\%3=(100+137)\%3$

12b) $(100\oplus147)\%4=(100+147)\%4$

12c) $(100\oplus157)\%6=(100+157)\%6$

12d) $(100\oplus167)\%8=(100+167)\%8$

5.27[1,1,0,1]

13) Działanie m$\diamond$n zdefiniowane jest następująco. Rozkładamy każdą z liczb m, n na sumę różnych potęg dwójki, wykreślamy składniki powtarzające się w obu sumach, a następnie dodajemy składniki niewykreślone w obu sumach.
Na przykład dla m = 13 i n = 6 mamy 13 = 8+4+1 oraz 6 = 4+2. Pomijając wspólny składnik 4, otrzymujemy 13$\diamond$6 = 8+2+1 = 11. Czy zgodnie z powyższą definicją

13a) 3$\diamond$4 = 7?

13b) 7$\diamond$3 = 4?

13c) 9$\diamond$5 = 13?

13d) 7$\diamond$11 = 12?

5.30[1,1,1,1]

14) Ciąg (F_n) jest określony wzorami F₁ = F₂ = 1 oraz  F_n+2 = F_n+1 + F_n dla n$\ge$1. Czy stąd wynika, że w ciągu (F_n) istnieje wyraz podzielny przez

14a) 2004?

14b) 2005?

14c) 2006?

14d) 2007?

4.6[1,1,0,1]

15) Czy podany wielomian przyjmuje wartości całkowite dla każdego argumentu całkowitego x?

15a) x² + x

15b) ${x^2\over2}+{x\over2}$

15c) ${x^2\over3}+{x\over3}$

15d) ${x^2\over2}-{x\over2}$