Podzielność

6.2[1,0,1,0]

1) Liczba n jest podzielna przez 10, 12 i 15. Czy stąd wynika, że liczba n jest podzielna przez:

1a) 20?

1b) 25?

1c) 30?

1d) 150?

6.7[1,0,0,1]

2) Czy liczba 124000000000000320 jest podzielna przez

2a) 15?

2b) 18?

2c) 75?

2d) 40?

6.9[0,1,0,1]

3) Czy dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n podana liczba jest liczbą całkowitą?

3a) $\displaystyle {n^2+1\over2}$

3b) $\displaystyle {n^2+n\over2}$

3c) $\displaystyle {n^3+n\over3}$

3d) $\displaystyle {n^3-n\over6}$

6.13[1,0,0,1]

4) Czy podana liczba jest podzielna przez 11?

4a) 4 ^. 10 ¹⁰⁰ + 7

4b) 5 ^. 10 ¹⁰¹ + 6

4c) 6 ^. 10 ¹⁰² + 6 

4d) 7 ^. 10 ¹⁰³ + 7

6.14[0,1,0,0]

5) Czy największy wspólny dzielnik liczb a i b jest równy 3, jeżeli

5a) a = 10 ¹⁰⁰ + 8,    b = 2 ^. 10 ¹⁰⁰ + 22

5b) a = 10 ¹⁰⁰ + 11,    b = 2 ^. 10 ¹⁰⁰ + 55

5c) a = 10 ¹⁰⁰ + 8,      b = 2 ^. 10 ¹⁰⁰ + 25

5d) a = 10 ¹⁰⁰ + 11,    b = 2 ^. 10 ¹⁰⁰ + 22

6.16[0,0,0,1]

6) Czy dla dowolnej liczby pierwszej p, podana liczba jest złożona?

6a) p + 10

6b) p + 11

6c) p + 12

6d) p + 13

7.19[0,1,0,0]

7) Czy podana liczba jest kwadratem liczby całkowitej?

7a) 3 ^{6 .} 20 ^{9 .} 27 ^{7 .} 45 ⁸

7b) 3 ^{7 .} 20 ^{8 .} 27 ^{9 .} 45 ⁶

7c) 3 ^{8 .} 20 ^{6 .} 27 ^{6 .} 45 ⁷

7d) 3 ^{9 .} 20 ^{7 .} 27 ^{8 .} 45 ⁹>

7.21[0,1,1,0]

8) Czy liczba 30! jest podzielna przez

8a) 2 ²⁷

8b) 3 ¹⁴

8c) 5 ⁷

8d) 7 ⁵

7.28[1,0,1,1]

9) Czy największy wspólny dzielnik liczb 3n+2  oraz 7n+3  jest równy 1, jeżeli

9a) n = 2005?

9b) n = 2006?

9c) n = 2007?

9d) n = 2008?>

8.9[1,0,1,0]

10) Czy podana liczba jest podzielna przez 8?

10a) 754361654165144

10b) 184758556555058

10c) 117546559923048

10d) 764384318323108

8.17[1,1,0,0]

11) Czy istnieje liczba naturalna n > 2005, której czwarta potęga przy dzieleniu przez 16 daje resztę

11a) 0?>

11b) 1?

11c) 4?

11d) 9?

8.28[0,0,1,1]

12) Czy istnieje liczba całkowita, której kwadrat jest podzielny przez a, ale nie jest podzielny przez b, jeżeli

12a) a = 6, b = 9?

12b) a = 54, b = 12?

12c) a = 15, b = 50?

12d) a = 18, b = 27? >

8.29[1,0,0,0]

13) Czy podana liczba jest podzielna przez 9?

13a) 7 ²⁰⁰⁵ - 2005

13b) 7 ²⁰⁰⁶ - 2006

13c) 7 ²⁰⁰⁷ - 2007

13d) 7 ²⁰⁰⁸ - 2008

4.8[1,1,1,0]

14) Czy podana liczba jest podzielna przez 10?

14a) 4 ²⁰⁰³ - 4

14b) 5 ²⁰⁰³ - 5

14c) 6 ²⁰⁰³ - 6

14d) 7 ²⁰⁰³ - 7

4.28[1,0,0,1]

15) Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej k, liczba k(k+1)(k+2)(k+3) jest podzielna przez n. Czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla

15a) n = 8?

15b) n = 9?

15c) n = 10?

15d) n = 12?

5.2[0,1,1,1]

16) Czy podana liczba jest podzielna przez 27?

16a) 1234 ⁹⁹⁹

16b) 2727 ⁴⁴⁴⁴

16c) 12345 ⁷⁷⁷⁷

16d) 123456 ⁶⁶⁶⁶

5.4[1,1,1,0]

17) Czy liczba n jest podzielna przez liczbę d, jeżeli

17a) n = 10 ³⁰ - 1,  d = 10 ³ - 1 

17b) n = 10 ⁴⁴ + 1,  d = 10 ⁴ + 1

17c) n = 10 ⁵⁰ - 1,  d = 10 ⁵ + 1

17d) n = 10 ⁶⁰ + 1,  d = 10 ⁶ + 1

5.12[1,0,1,0],[1,0,0,1],[0,1,0,1],[1,0,0,1],[0,1,0,0],[0,0,0,1],[0,1,0,0],[0,1,1,0],[1,0,1,1],[1,0,1,0],[1,1,0,0],[0,0,1,1],[1,0,0,0],[1,1,1,0],[1,0,0,1],[0,1,1,1],[1,1,1,0],[1,0,0,1]

18) Czy spośród dowolnych czterech różnych liczb całkowitych dodatnich można wybrać dwie,

18a) których suma jest parzysta?

18b) których różnica jest nieparzysta?

18c) których suma jest podzielna przez 3?

18d) których różnica jest podzielna przez 3?